摘要：2019年《高等數學Ⅱ》考試大綱 第一部分：總要求 考生應按本大綱的要求，了解或理解“高等數學”中函數、極限和連續(xù)、一元函數微分學、一元函數積分學、多元函數微積分學、無窮級數、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的
2019年《高等數學Ⅱ》考試大綱
第一部分：總要求
考生應按本大綱的要求，了解或理解“高等數學”中函數、極限和連續(xù)、一元函數微分學、一元函數積分學、多元函數微積分學、無窮級數、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。
第二部分：考試內容
一、函數、極限與連續(xù)
（一）函數
1．知識范圍
（1）函數的概念：函數的定義、函數的表示法、分段函數、隱函數。
（2）函數的簡單性質：單調性、奇偶性、有界性、周期性。
（3）反函數：反函數的定義，反函數的圖象。
（4）函數的四則運算與復合運算。
（5）基本初等函數：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。
（6）初等函數
2. 要求
（1）理解函數的概念，會求函數的定義域、表達式及函數值。了解分段函數的概念。
（2）理解函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性。
（3）了解函數與其反函數之間的關系（定義域、值域、圖象），會求單調函數的反函數。
（4）理解和掌握函數的四則運算與復合運算。
（5）掌握基本初等函數的簡單性質及其圖象。
（6）了解初等函數的概念。
（7）會建立簡單實際問題的函數關系。
（二）極限
1．知識范圍
（1）數列極限的概念：數列，數列的極限。
（2）數列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數列的極限存在定理。
（3）函數極限的概念：函數在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關系，x趨于無窮（x→∞，x→+∞，x→-∞）時函數的極限。
（4）函數極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理。
（5）無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關系，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較。
（6）兩個重要極限。
2．要求
（1）了解極限的概念，能根據極限概念分析函數的變化趨勢。了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。
（2）熟練掌握用極限的四則運算法則求極限的方法，理解極限的有關性質。
（3）了解無窮小量、無窮大量的概念，了解無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。了解無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等階）。
（4）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
（三）連續(xù)
1．知識范圍
（1）函數連續(xù)的概念：函數在一點連續(xù)的定義，函數的間斷點。
（2）函數在一點處連續(xù)的性質：連續(xù)函數的四則運算，復合函數的連續(xù)性，反函數的連續(xù)性。
（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點定理）。
2．要求
（1）理解函數在一點連續(xù)與間斷的概念，會判斷簡單函數（含分段函數）在一點的連續(xù)性，理解函數在一點連續(xù)與極限存在的關系。
（2）會求函數的間斷點（含分段函數）。
（3）理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，會運用介值定理（包括零點定理）推證一些簡單命題。
（4）了解連續(xù)函數的性質及初等函數在其定義區(qū)間上的連續(xù)性。會利用連續(xù)性求極限。
二、一元函數微分學
（一）導數與微分
1．知識范圍
（1）導數概念：導數的定義、導數的幾何意義、可導與連續(xù)的關系。
（2）求導法則與導數的基本公式：導數的四則運算、基本初等函數的導數公式。
（3）求導方法：復合函數的求導法、隱函數的求導法、對數求導法。
（4）高階導數的概念：高階導數的定義，高階導數的計算。
（5）微分：微分的定義，微分與導數的關系，微分法則，一階微分形式不變性。
2．要求
（1）理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系。掌握用定義求函數在一點處導數的方法。
（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。
（3）熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數求導法則。會求反函數的導數。
（4）掌握隱函數求導法、對數求導法以及由參數方程所確定的函數的求導方法，會求分段函數的導數。
（5）了解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數。
（6）理解函數的微分概念，了解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。
（二）微分中值定理及導數的應用
1．知識范圍
（1）中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（）中值定理。
（2）洛必達（L’Hospital）法則。
（3）函數增減性的判定法。
（4）函數極值與極值點，最大值與最小值。
（5）曲線的凹凸性、拐點。
（6）曲線的漸近線。
（7）簡單的函數圖形
2．要求
（1）理解解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義，會用拉格朗日中值定理證明某些簡單的不等式或恒等式。了解柯西中值定理。
（2）熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的極限方法。
（3）掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調區(qū)間的方法，會利用函數的增減性證明簡單的不等式。
（4）理解函數極值的概念，掌握求函數的極值和最大（小）值的方法，并且會解簡單的應用問題。
（5）會用導數判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。
（6）會求曲線的漸近線。
（7）會作出簡單的函數圖形。
三、一元函數積分學
（一）不定積分
1．知識范圍
（1）不定積分的概念：原函數與不定積分的定義，原函數存在定理，不定積分的性質。
（2）基本初等函數的積分公式。
（3）換元積分法：第一換元法（湊微分法），第二換元法
（4）分部積分法。
（5）一些簡單有理函數的積分。
2．要求
（1）理解原函數與不定積分概念及其關系，掌握不定積分性質，了解原函數存在定理。
（2）掌握基本初等函數的不定積分公式。
（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）。
（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。
（5）會求簡單有理函數的不定積分。
（二）定積分
1．知識范圍
（1）定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義。
（2）定積分的性質。
（3）定積分的計算：變上限的定積分，牛頓一萊布尼茨（Newton - Leibniz）公式，換元積分法，分部積分法。
（4）廣義積分的概念。
（5）定積分在幾何上的應用：平面圖形的面積、旋轉體的體積。
2．要求
（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解函數可積的條件。
（2）掌握定積分的基本性質，
（3）理解變上限的定積分的含義，掌握對變上限定積分求導數的方法。
（4）熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。
（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
（6）理解廣義積分，根據定義會求一些簡單的廣義積分。
（7）理解用元素法將實際問題表達成定積分的分析方法。
（8）掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積的計算方法。
四、多元函數微積分學
（一）多元函數微分學
1．知識范圍
（1）空間直角坐標系
（2）多元函數
多元函數的定義、二元函數的幾何意義、二元函數極限與連續(xù)的概念
（3）偏導數與全微分
偏導數、全微分、二階偏導數
（4）復合函數的偏導數
（5）隱函數的偏導數
（6）二元函數的無條件極值與條件極值
2．要求
（1）了解空間直角坐標系的概念，會求空間兩點間的距離。
（2）了解多元函數的概念、二元函數的幾何意義、會求二元函數的表達式與定義域。了解二元函數的極限與連續(xù)的概念。
（3）理解偏導數的概念，了解偏導數的幾何意義，了解全微分概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。
（4）掌握二元函數的一、二階偏導數的計算方法。
（5）掌握復合函數一、二階偏導數的求法。
（6）會求多元函數的全微分。
（7）掌握由方程所確定的隱函數的一階偏導數的計算方法。
（8）會求多元函數的無條件極值，會用拉格朗日數乘法求多元函數的條件極值。
（二）二重積分
1．知識范圍
（1）二重積分的概念
二重積分的定義、二重積分的幾何意義
（2）二重積分的性質
（3）二重積分的計算
（4）二重積分的應用
2．要求
（1）了解二重積分的概念與基本性質，理解二重積分的幾何意義。
（2）掌握二重積分的計算方法（直角坐標）。能夠根據積分域和被積函數的特點選擇積分次序，能正確地定出二次積分的積分限。
五、無窮級數
（一）數項級數
1．知識范圍
（1）數項級數
數項級數的概念、級數的收斂與發(fā)散、級數的基本性質、級數收斂的必要條件
（2）正項級數收斂性的判別法
比較判別法、比值判別法、
（3）任意項級數
交錯級數、絕對收斂、條件收斂、萊布尼茨判別法
2．要求
（1）理解級數的收斂與發(fā)散、收斂級數的和的概念。
（2）掌握級數的基本性質和級數收斂的必要條件，掌握幾何級數和P—級數的收斂性，掌握正項級數的比較判別法和比值判別法，了解級數的根式判別法。
（3）掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念，以及它們之間的關系。
（二）冪級數
1．知識范圍
（1）冪級數的概念
收斂半徑、收斂區(qū)間
（2）冪級數的基本性質
（3）將簡單的初等函數展開成冪級數
2．要求
（1）了解冪級數的概念。
（2）掌握冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間的求法。
（3）了解冪級數的基本性質（和函數的連續(xù)性，逐項微分和逐項積分）。
（4）掌握幾個常用初等函數的麥克勞林展開式，并會利用這些展開式將一些簡單函數間接展開成冪函數。
六、常微分方程
一階微分方程
1.知識范圍
（1）微分方程的概念
微分方程的定義、階、解、通解、初始條件和特解
（2）可分離變量的微分方程
（3）一階線性微分方程
2.要求
（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解
（2）掌握可分離變量的微分方程的解法。
（3）掌握一階線性微分方程解法。
第三部分：參考教材
1. 《微積分》 趙樹嫄 主編，中國人民大學出版社
2. 《微積分》 馬軍 許成鋒 主編，北京理工大學出版社
