摘要:2019年《高等數(shù)學Ⅱ》考試大綱 第一部分:總要求 考生應按本大綱的要求,了解或理解“高等數(shù)學”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、多元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論;學會、掌握或熟練掌握上述各部分的
2019年《高等數(shù)學Ⅱ》考試大綱
第一部分:總要求
考生應按本大綱的要求,了解或理解“高等數(shù)學”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、多元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論;學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內(nèi)在聯(lián)系;應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力;能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明,準確地計算;能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。
第二部分:考試內(nèi)容
一、函數(shù)、極限與連續(xù)
(一)函數(shù)
1.知識范圍
(1)函數(shù)的概念:函數(shù)的定義、函數(shù)的表示法、分段函數(shù)、隱函數(shù)。
(2)函數(shù)的簡單性質:單調性、奇偶性、有界性、周期性。
(3)反函數(shù):反函數(shù)的定義,反函數(shù)的圖象。
(4)函數(shù)的四則運算與復合運算。
(5)基本初等函數(shù):冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。
(6)初等函數(shù)
2. 要求
(1)理解函數(shù)的概念,會求函數(shù)的定義域、表達式及函數(shù)值。了解分段函數(shù)的概念。
(2)理解函數(shù)的單調性、奇偶性、有界性和周期性。
(3)了解函數(shù)與其反函數(shù)之間的關系(定義域、值域、圖象),會求單調函數(shù)的反函數(shù)。
(4)理解和掌握函數(shù)的四則運算與復合運算。
(5)掌握基本初等函數(shù)的簡單性質及其圖象。
(6)了解初等函數(shù)的概念。
(7)會建立簡單實際問題的函數(shù)關系。
(二)極限
1.知識范圍
(1)數(shù)列極限的概念:數(shù)列,數(shù)列的極限。
(2)數(shù)列極限的性質:唯一性,有界性,四則運算定理,夾逼定理,單調有界數(shù)列的極限存在定理。
(3)函數(shù)極限的概念:函數(shù)在一點處極限的定義,左、右極限及其與極限的關系,x趨于無窮(x→∞,x→+∞,x→-∞)時函數(shù)的極限。
(4)函數(shù)極限的定理:唯一性定理,夾逼定理,四則運算定理。
(5)無窮小量和無窮大量:無窮小量與無窮大量的定義,無窮小量與無窮大量的關系,無窮小量與無窮大量的性質,兩個無窮小量階的比較。
(6)兩個重要極限。
2.要求
(1)了解極限的概念,能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢。了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。
(2)熟練掌握用極限的四則運算法則求極限的方法,理解極限的有關性質。
(3)了解無窮小量、無窮大量的概念,了解無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。了解無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等階)。
(4)熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
(三)連續(xù)
1.知識范圍
(1)函數(shù)連續(xù)的概念:函數(shù)在一點連續(xù)的定義,函數(shù)的間斷點。
(2)函數(shù)在一點處連續(xù)的性質:連續(xù)函數(shù)的四則運算,復合函數(shù)的連續(xù)性,反函數(shù)的連續(xù)性。
(3)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質:有界性定理,最大值和最小值定理,介值定理(包括零點定理)。
2.要求
(1)理解函數(shù)在一點連續(xù)與間斷的概念,會判斷簡單函數(shù)(含分段函數(shù))在一點的連續(xù)性,理解函數(shù)在一點連續(xù)與極限存在的關系。
(2)會求函數(shù)的間斷點(含分段函數(shù))。
(3)理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,會運用介值定理(包括零點定理)推證一些簡單命題。
(4)了解連續(xù)函數(shù)的性質及初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性。會利用連續(xù)性求極限。
二、一元函數(shù)微分學
(一)導數(shù)與微分
1.知識范圍
(1)導數(shù)概念:導數(shù)的定義、導數(shù)的幾何意義、可導與連續(xù)的關系。
(2)求導法則與導數(shù)的基本公式:導數(shù)的四則運算、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。
(3)求導方法:復合函數(shù)的求導法、隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法。
(4)高階導數(shù)的概念:高階導數(shù)的定義,高階導數(shù)的計算。
(5)微分:微分的定義,微分與導數(shù)的關系,微分法則,一階微分形式不變性。
2.要求
(1)理解導數(shù)的概念及其幾何意義,了解可導性與連續(xù)性的關系。掌握用定義求函數(shù)在一點處導數(shù)的方法。
(2)會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。
(3)熟練掌握導數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復合函數(shù)求導法則。會求反函數(shù)的導數(shù)。
(4)掌握隱函數(shù)求導法、對數(shù)求導法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法,會求分段函數(shù)的導數(shù)。
(5)了解高階導數(shù)的概念,會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)。
(6)理解函數(shù)的微分概念,了解可微與可導的關系,會求函數(shù)的一階微分。
(二)微分中值定理及導數(shù)的應用
1.知識范圍
(1)中值定理:羅爾中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西()中值定理。
(2)洛必達(L’Hospital)法則。
(3)函數(shù)增減性的判定法。
(4)函數(shù)極值與極值點,最大值與最小值。
(5)曲線的凹凸性、拐點。
(6)曲線的漸近線。
(7)簡單的函數(shù)圖形
2.要求
(1)理解解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義,會用拉格朗日中值定理證明某些簡單的不等式或恒等式。了解柯西中值定理。
(2)熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的極限方法。
(3)掌握利用導數(shù)判定函數(shù)的單調性及求函數(shù)的單調區(qū)間的方法,會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式。
(4)理解函數(shù)極值的概念,掌握求函數(shù)的極值和最大(?。┲档姆椒?,并且會解簡單的應用問題。
(5)會用導數(shù)判斷曲線的凹凸性,會求曲線的拐點。
(6)會求曲線的漸近線。
(7)會作出簡單的函數(shù)圖形。
三、一元函數(shù)積分學
(一)不定積分
1.知識范圍
(1)不定積分的概念:原函數(shù)與不定積分的定義,原函數(shù)存在定理,不定積分的性質。
(2)基本初等函數(shù)的積分公式。
(3)換元積分法:第一換元法(湊微分法),第二換元法
(4)分部積分法。
(5)一些簡單有理函數(shù)的積分。
2.要求
(1)理解原函數(shù)與不定積分概念及其關系,掌握不定積分性質,了解原函數(shù)存在定理。
(2)掌握基本初等函數(shù)的不定積分公式。
(3)熟練掌握不定積分第一換元法,掌握第二換元法(限于三角代換與簡單的根式代換)。
(4)熟練掌握不定積分的分部積分法。
(5)會求簡單有理函數(shù)的不定積分。
(二)定積分
1.知識范圍
(1)定積分的概念:定積分的定義及其幾何意義。
(2)定積分的性質。
(3)定積分的計算:變上限的定積分,牛頓一萊布尼茨(Newton - Leibniz)公式,換元積分法,分部積分法。
(4)廣義積分的概念。
(5)定積分在幾何上的應用:平面圖形的面積、旋轉體的體積。
2.要求
(1)理解定積分的概念與幾何意義,了解函數(shù)可積的條件。
(2)掌握定積分的基本性質,
(3)理解變上限的定積分的含義,掌握對變上限定積分求導數(shù)的方法。
(4)熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。
(5)掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
(6)理解廣義積分,根據(jù)定義會求一些簡單的廣義積分。
(7)理解用元素法將實際問題表達成定積分的分析方法。
(8)掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積的計算方法。
四、多元函數(shù)微積分學
(一)多元函數(shù)微分學
1.知識范圍
(1)空間直角坐標系
(2)多元函數(shù)
多元函數(shù)的定義、二元函數(shù)的幾何意義、二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念
(3)偏導數(shù)與全微分
偏導數(shù)、全微分、二階偏導數(shù)
(4)復合函數(shù)的偏導數(shù)
(5)隱函數(shù)的偏導數(shù)
(6)二元函數(shù)的無條件極值與條件極值
2.要求
(1)了解空間直角坐標系的概念,會求空間兩點間的距離。
(2)了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義、會求二元函數(shù)的表達式與定義域。了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。
(3)理解偏導數(shù)的概念,了解偏導數(shù)的幾何意義,了解全微分概念,了解全微分存在的必要條件與充分條件。
(4)掌握二元函數(shù)的一、二階偏導數(shù)的計算方法。
(5)掌握復合函數(shù)一、二階偏導數(shù)的求法。
(6)會求多元函數(shù)的全微分。
(7)掌握由方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導數(shù)的計算方法。
(8)會求多元函數(shù)的無條件極值,會用拉格朗日數(shù)乘法求多元函數(shù)的條件極值。
(二)二重積分
1.知識范圍
(1)二重積分的概念
二重積分的定義、二重積分的幾何意義
(2)二重積分的性質
(3)二重積分的計算
(4)二重積分的應用
2.要求
(1)了解二重積分的概念與基本性質,理解二重積分的幾何意義。
(2)掌握二重積分的計算方法(直角坐標)。能夠根據(jù)積分域和被積函數(shù)的特點選擇積分次序,能正確地定出二次積分的積分限。
五、無窮級數(shù)
(一)數(shù)項級數(shù)
1.知識范圍
(1)數(shù)項級數(shù)
數(shù)項級數(shù)的概念、級數(shù)的收斂與發(fā)散、級數(shù)的基本性質、級數(shù)收斂的必要條件
(2)正項級數(shù)收斂性的判別法
比較判別法、比值判別法、
(3)任意項級數(shù)
交錯級數(shù)、絕對收斂、條件收斂、萊布尼茨判別法
2.要求
(1)理解級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和的概念。
(2)掌握級數(shù)的基本性質和級數(shù)收斂的必要條件,掌握幾何級數(shù)和P—級數(shù)的收斂性,掌握正項級數(shù)的比較判別法和比值判別法,了解級數(shù)的根式判別法。
(3)掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念,以及它們之間的關系。
(二)冪級數(shù)
1.知識范圍
(1)冪級數(shù)的概念
收斂半徑、收斂區(qū)間
(2)冪級數(shù)的基本性質
(3)將簡單的初等函數(shù)展開成冪級數(shù)
2.要求
(1)了解冪級數(shù)的概念。
(2)掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的求法。
(3)了解冪級數(shù)的基本性質(和函數(shù)的連續(xù)性,逐項微分和逐項積分)。
(4)掌握幾個常用初等函數(shù)的麥克勞林展開式,并會利用這些展開式將一些簡單函數(shù)間接展開成冪函數(shù)。
六、常微分方程
一階微分方程
1.知識范圍
(1)微分方程的概念
微分方程的定義、階、解、通解、初始條件和特解
(2)可分離變量的微分方程
(3)一階線性微分方程
2.要求
(1)理解微分方程的定義,理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解
(2)掌握可分離變量的微分方程的解法。
(3)掌握一階線性微分方程解法。
第三部分:參考教材
1. 《微積分》 趙樹嫄 主編,中國人民大學出版社
2. 《微積分》 馬軍 許成鋒 主編,北京理工大學出版社