2020年湖北文理學院普通專升本《高等數學》考試大綱

一、基本要求：

考生應按本大綱的要求，了解或理解“高等數學”中函數、極限和連續(xù)、一元函數微分學、一元函數積分學、向量代數與空間解析幾何、多元函數微積分學、無窮級數、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯(lián)系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；有運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。

本大綱對內容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運算分為“會”、“掌握”和“熟練掌握”三個層次。

二、考試方法和時間：

考試方法為閉卷考試，考試時間為90分鐘。

三、考試題型大致比例：

選擇題：100%，試卷滿分：100分。

四、考試內容和要求：

第一章  函數、極限和連續(xù)

（一）函數

考試內容：

（1）函數的概念：函數的定義    函數的表示法    分段函數；

（2）函數的簡單性質：單調性    奇偶性    有界性    周期性；

（3）反函數：反函數的定義    反函數的圖象；

（4）函數的四則運算與復合運算；

（5）基本初等函數：冪函數 指數函數 對數函數 三角函數  反三角函數；

（6）初等函數。

考試要求：

（1）理解函數的概念，會求函數的定義域、表達式及函數值；會求分段函數的定義域、函數值，并會做出簡單的分段函數圖象；

（2）理解和掌握函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性，會判斷所給函數的類別；

（3）了解函數y=?（x）與其反函數y=?^-1（x）之間的關系（定義域、值域、圖象），會求單調函數的反函數；

（4）理解和掌握函數的四則運算與復合運算，熟練掌握復合函數的復合過程；

（5）掌握基本初等函數的簡單性質及其圖像象；

（6）了解初等函數的概念；

（7）會建立簡單實際問題的函數關系式。

（二）極限

考試內容：

（1）數列極限的概念：數列    數列極限的定義；

（2）數列極限的性質：唯一性  有界性  四則運算定理  夾逼定理  單調有界數列  極限存在定理；

（3）函數極限的概念：函數在一點處極限的定義  左、右極限及其與極限的關系x趨于無窮（x→∞，x→+∞，x→-∞）時函數的極限  函數極限的幾何意義；

（4）函數極限的定理：唯一性定理    夾逼定理    四則運算定理；

（5）無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義  無窮小量與無窮大量的關系  無窮小量與無窮大量的性質  兩個無窮小量階的比較；

（6）兩個重要極限

基本要求：

（1）理解極限的概念（對極限定義中“ε- N”、“ε- δ”、“ε- M”的描述不作要求），能根據極限概念分析函數的變化趨勢。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件；

（2）了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則；

（3）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系  會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等階）  會運用等價無窮小量代換求極限；

（4）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

（三）連續(xù)

考試內容：

（1）函數連續(xù)的概念：函數在一點連續(xù)的定義  左連續(xù)和右連續(xù)  函數在一點連續(xù)的充分必要條件  函數的間斷點及其分類；

（2）函數在一點處連續(xù)的性質：連續(xù)函數的四則運算 復合函數的連續(xù)性  反函數的連續(xù)性；

（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質：有界性定理  最大值和最小值定理  介值定理（包括零點定理）；

（4）初等函數的連續(xù)性。

基本要求：

（1）理解函數在一點連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷簡單函數（含分段函數）在一點的連續(xù)性，理解函數在一點連續(xù)與極限存在的關系；

（2）會求函數的間斷點及確定其類型；

（3）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，會運用介值定理推證一些簡單命題；

（4）理解初等函數在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限。

第二章  一元函數微分學

（一）導數與微分

考試內容：

（1）導數概念：導數的定義  左導數與右導數  導數的幾何意義與物理意義  可導與連續(xù)的關系；

（2）求導法則與導數的基本公式：導數的四則運算  反函數的導數  導數的基本公式；

（3）求導方法：復合函數的求導法  隱函數的求導法  對數求導法  由參數方程確定的函數的求導法  求分段函數的導數；

（4）高階導數的概念：高階導數的定義  高階導數的計算；

（5）微分：微分的定義  微分與導數的關系  微分法則  一階微分形式不變性。

基本要求：

（1）理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系，會用定義求函數在一點處的導數；

（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程；

（3）熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法，會求反函數的導數；

（4）掌握隱函數的求導法、對數求導法以及由參數方程所確定的函數的求導方法，會求分段函數的導數；

（5）理解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數；

（6）理解函數的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。

（二）中值定理及導數的應用

考試內容：

（1）中值定理：羅爾（Rolle）中值定理  拉格朗日（Lagrange）中值定理；

（2）洛必達（L’Hospital）法則；

（3）函數增減性的判定法；

（4）函數極值與極值點  最大值與最小值；

（5）曲線的凹凸性、拐點；

（6）曲線的水平漸近線與垂直漸近線。

考試要求：

（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式；

（2）熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1^∞”、“0⁰”和“∞⁰”型未定式的極限方法；

（3）掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區(qū)間的方法，會利用函數的增減性證明簡單的不等式；

（4）理解函數極值的概念，掌握求函數的極值和最大（?。┲档姆椒ǎ⑶視夂唵蔚膽脝栴}；

（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點；

（6）會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線；

（7）會作出簡單函數的圖形。

第三章  一元函數積分學

（一）不定積分

考試內容：

（1）不定積分的概念：原函數與不定積分的定義  原函數存在定理  不定積分的性質；

（2）基本積分公式；

（3）換元積分法：第一換元法（湊微分法）  第二換元法；

（4）分部積分法；

（5）一些簡單有理函數的積分。

基本要求：

（1）理解原函數與不定積分概念及其關系，掌握不定積分性質，了解原函數存在定理；

（2）熟練掌握不定積分的基本公式；

（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）；

（4）熟練掌握不定積分的分部積分法；

（5）會求簡單有理函數的不定積分。

（二）定積分

考試內容：

（1）定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義  可積條件；

（2）定積分的性質；

（3）定積分的計算：變上限的定積分  牛頓一萊布尼茨（Newton - Leibniz）公式  換元積分法  分部積分法；

（4）無窮區(qū)間的廣義積分；

（5）定積分的應用：平面圖形的面積  旋轉體的體積  物體沿直線運動時變力所作的功。

基本要求：

（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件；

（2）掌握定積分的基本性質；

（3）理解變上限的定積分是變上限的函數，掌握對變上限定積分求導數的方法；

（4）掌握牛頓—萊布尼茨公式；

（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法；

（6）理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計算方法；

（7）掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體體積；會用定積分求沿直線運動時變力所作的功。

第四章  向量代數與空間解析幾何

（一）向量代數

考試內容：

（1）向量的概念：向量的定義  向量的模  單位向量  向量在坐標軸上的投影

    向量的坐標表示法  向量的方向余弦；

（2）向量的線性運算：向量的加法  向量的減法  向量的數乘；

（3）向量的數量積二向量的夾角  二向量垂直的充分必要條件；

（4）二向量的向量積  二向量平行的充分必要條件。

基本要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的坐標表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在坐標軸上的投影；

（2）掌握向量的線性運算、向量的數量積與向量積的計算方法；

（3）掌握二向量平行、垂直的條件。

（二）平面與直線

考試內容：

（1）常見的平面方程：點法式方程  一般式方程；

（2）兩平面平行的條件  兩平面垂直的條件  點到平面的距離；

（3）空間直線方程：標準式方程（又稱對稱式方程或點向方程） 一般式方程  參數式方程；

（4）兩直線平行的條件  兩直線垂直的條件  直線在平面上的條件。

基本要求：

（1）會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行；

（2）會求點到平面的距離；

（3）了解直線的一般式方程，會求直線的標準式方程、參數式方程會判定兩直線平行、垂直；

（4）會判定直線與平面間的關系（垂直、平行、直線在平面上）。

（三）簡單的二次曲面

考試內容：

球面  母線平行于坐標軸的柱面  旋轉拋物面  圓錐面  橢球面；

基本要求：

了解球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形。

第五章  多元函數微積分

（一）多元函數微分學

考試內容：

（1）多元函數：多元函數的定義  二元函數的定義域  二元函數的幾何意義  

二元函數極限與連續(xù)的概念；

（2）偏導數與全微分：偏導數  全微分  二階偏導數；

（3）復合函數的偏導數；

（4）隱函數的偏導數；

（5）二元函數的無條件極值及條件極值。

基本要求：

（1）了解多元函數的概念、二元函數的幾何意義及二元函數的極限與連續(xù)概念（對計算不作要求）。會求二元函數的定義域；

（2）理解偏導數概念，了解全微分概念，知道全微分存在的必要條件與充分條件；

（3）掌握二元函數的一、二階偏導數計算方法；

（4）掌握復合函數一階偏導數的求法；

（5）會求二元函數的全微分；

（6）掌握由方程F（x，y，z）=0所確定的隱函數z=z（x，y）的一階偏導數的計算方法；

（7）會求二元函數的無條件極值及條件極值。

（二）二重積分

考試內容：

（1）二重積分的概念：二重積分的定義  二重積分的幾何意義；

（2）二重積分的性質；

（3）二重積分的計算；

（4）二重積分的應用。

基本要求：

（1）理解二重積分的概念及其性質；

（2）掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法；

（3）會用二重積分解決簡單的應用問題（限于空間封閉曲面所圍成的有界區(qū)域的體積、平面薄板質量）。

（三）第一類曲線積分與第二類曲線積分

考試內容：

第一類曲線積分與第二類曲線積分的概念及其計算方法；

格林（Green）公式；

平面曲線積分與路徑無關條件。

基本要求：

（1）理解第一類曲線積分與第二類曲線積分的概念及其性質；

（2）掌握第一類曲線積分與第二類曲線積分的計算方法；

（3）掌握格林（Green）公式；

（4）掌握平面曲線積分與路徑無關條件。

第六章  無窮級數

（一）數項級數

考試內容：

（1）數項級數：數項級數的概念  級數的收斂與發(fā)散  級數的基本性質  級數收斂的必要條件；

（2）正項級數斂散性的判別法：比較判別法  比值判別法；

（3）任意項級數：交錯級數  絕對收斂  條件收斂  萊布尼茨判別法。

考試要求：

（1）理解級數收斂、發(fā)散的概念。掌握級數收斂的必要條件，了解級數的基本性質；

（2）掌握正項級數的比值判別法。會用正項級數的比較判別法；

（3）掌握幾何級數、調和級數與級數的收斂性；

（4）了解級數絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。

（二）冪級數

考試內容：

（1）冪級數的概念：收斂半徑  收斂區(qū)間；

（2）冪級數的基本性質；

（3）將簡單的初等函數展開為冪級數。

考試要求：

（1）了解冪級數的概念；

（2）了解冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質（和、差、逐項求導與逐項積分）；

（3）掌握求冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間（不要求討論端點）的方法；

（4）會運用，，，，的麥克勞林（Maclaurin）公式，將一些簡單的初等函數展開為或的冪級數。

第七章  常微分方程

（一）一階微分方程

考試內容：

（1）微分方程的概念：微分方程的定義  階  解  通解  初始條件  特解；

（2）可分離變量的方程；

（3）一階線性方程。

考試要求：

（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解；

（2）掌握可分離變量方程的解法；

（3）掌握一階線性方程的解法。

（二）可降價方程

考試內容：

（1）型方程     

（2）型方程

 考試要求：

（1）會用降價法解型方程

（2）會用降價法解型方程

（三）二階線性微分方程

考試內容：

（1）二階線性微分方程解的結構

（2）二階常系數齊次線性微分方程

（3）二階常系數非齊交線性微分方程

考試要求：

（1）了解二階線性微分方程解的結構。

（2）掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。

（3）掌握二階常系數非齊次線性微分方程的解法（自由項限定為，其中為的次多項式。為實常數；+

，其中、、A、B為實常數）。

參考書目：《高等數學》（第四、五版）  同濟大學數學教研室主編  高等教育出版社