萍鄉(xiāng)學院專升本考試《數學分析》考試大綱2021

　　2021年萍鄉(xiāng)學院專升本數學與應用數學專業(yè)的考生可以通過《數學分析》考綱的要求及內容，找到正確的備考思路,熟悉考試與命題的方向，從而更好地應對即將到來的專升本考試。 

　　一、課程名稱：數學分析

　　二、適應專業(yè)：數學與應用數學

　　三、考試方式：閉卷

　　四、考試時間：120分鐘

　　五、考試題型及分數：

　　1.選擇題：共6小題，每題5分，共計30分；

　　2.選擇題：共6小題，每題5分，共計30分；

　　3.計算題：共5小題，每題10分，共計50分；

　　4.證明題：共2小題，每題15分，共計30分；

　　六、指定教材與建議參考書：

　　指定教材：《新編數學分析》（上下冊），林元重編著，武漢大學出版社，2015.3；

　　建議參考書：《數學分析（第五版）》（上下冊），華東師范大學數學數學科學學院編，高等教育出版社，2019.5；

　　《數學分析講義（第六版）》（上下冊），劉玉蓮、傅沛仁、劉偉、林玎主編，高等教育出版社，2019.4.

　　七、考試內容及分數分布

　　第一章極限論（約15%）

　　1.1引言

　　考核內容：1.數學分析是什么.

　　2.實數的基本性質和絕對值的不等式，區(qū)間與鄰域，集合的上下界.

　　3.函數的定義與表示法，復合函數與反函數，初等函數．

　　4.函數的有界性，單調性，奇偶性和周期性．

　　考核要求：1.了解數學分析是什么.

　　2.掌握實數的性質（有序性，稠密性，阿基米德性．實數的四則運算），掌握實數的基本概念和最常見的不等式.

　　3.掌握函數概念和函數的不同的表示方法．

　　4.掌握函數的有界性，單調性，奇偶性和周期性．

　　1.2數列極限概念

　　考核內容：1.數列極限概念．

　　2.數列極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，四則運算法則．

　　3.數列極限的夾逼準則和單調有界準則，數集的確界及確界原理，數列的子列及相關定理(包括致密性定理)，柯西收斂準則．

　　考核要求：1.深刻理解并掌握數列極限概念，學會用數列極限的定義證明極限，學會證明數列極限的基本方法．

　　2.掌握數列極限的基本性質，掌握四則運算法則.

　　3.掌握夾逼準則，理解數集確界及確界原理，掌握單調有界準則，理解柯西收斂準則．

　　1.3函數極限概念及性質

　　考核內容：1.函數極限的定義、定義，左右極限.

　　2.函數極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，四則運算法則．

　　考核要求：1.正確理解和掌握函數極限的定義、定義，掌握極限與左右極限的關系，能夠用定義證明和計算函數的極限．

　　2.理解并掌握函數極限的基本性質（唯一性，有界性，保號性，保不等式性，四則運算法則），會用這些性質計算函數的極限．

　　1.4函數極限存在的準則與兩個重要極限

　　考核內容：1.函數極限的歸結，函數極限的單調有界定理，函數極限的柯西準則．

　　2.兩個重要極限.

　　考核要求：1.理解并掌握函數極限的歸結原則，了解函數極限的單調有界定理，理解函數極限的柯西準則．能夠寫出函數極限的歸結原理和柯西準則．

　　2.熟練掌握兩個重要極限.

　　1.5無窮小量與無窮大量

　　考核內容：無窮小量與無窮大量，高階無窮小，同階無窮小，等價無窮小，無窮大．

　　考核要求：掌握無窮小量與無窮大量以及它們的階數的概念．

　　1.6連續(xù)性概念

　　考核內容：1.函數連續(xù)，函數左右連續(xù)，區(qū)間上函數連續(xù)的概念.

　　2.間斷點及其分類.

　　考核要求：深刻理解并掌握函數連續(xù)性概念．

　　1.7連續(xù)函數的局部性質與初等函數的連續(xù)性

　　考核內容：1.連續(xù)函數的局部有界性，局部保號性，四則運算.

　　2.復合函數的連續(xù)性，反函數的連續(xù)性，初等函數的連續(xù)性.

　　考核要求：掌握連續(xù)函數的局部性質和和初等函數的連續(xù)性．

　　1.8閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質

　　考核內容：1.連續(xù)函數的最大最小值定理，介值性定理.

　　2.一致連續(xù)性概念，一致連續(xù)性定理．

　　考核要求：1.理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的最大最小值定理，介值性定理.

　　2.理解并掌握一致連續(xù)性概念，理解一致連續(xù)性定理．

　　1.9實數的連續(xù)性與上(下)極限

　　考核內容：1.區(qū)間套定理、聚點定理，上（下）極限及其性質.

　　2.有限覆蓋定理，幾個基本定理的等價性.

　　考核要求：1.理解區(qū)間套定理、聚點定理，了解上（下）極限及其性質.

　　2.理解有限覆蓋定理，了解幾個基本定理的等價性.

　　第二章一元函數微分學（約20%）

　　2.1導數的概念

　　考核內容：1.變化率——導數，單側導數，導函數，幾個基本導數公式，幾何意義．

　　2.增量——微分公式，可導與連續(xù)的關系.

　　考核要求：1.理解并掌握導數的定義，掌握導數的幾何意義，了解導數的物理意義.

　　2.了解增量——微分公式，掌握可導與連續(xù)的關系.了解費馬定理、達布定理．

　　2.2導數的運算法則

　　考核內容：1導數的四則運算法則，反函數的求導法則.

　　2.復合函數的求導法則，對數求導法，基本導數公式．

　　考核要求：1.熟練掌握導數的四則運算法則，理解反函數的求導法則.

　　2.熟練掌握復合函數的求導法則及基本導數公式．

　　3.知道求分段函數在分段點處的導數.

　　2.3參變量函數和隱函數的導數

　　考核內容：參變量函數的求導法則，隱函數的求導法，相關變化率．

　　考核要求：掌握參變量函數的求導法則，知道求隱函數的導數，會運用求導法則求相關變化率．

　　2.4微分

　　考核內容：1.微分的概念，微分的運算法則，一階微分形式的不變性，微分在近似計算中的應用．

　　2.利用微分法則求參變量函數和隱函數的導數.

　　考核要求：1.深刻理解并掌握微分的概念，掌握微分的運算方法，了解微分在近似計算中的應用．

　　2.理解微分與導數的關系，會利用微分法則求參變量函數和隱函數的導數.

　　2.5高階導數與高階微分

　　考核內容：1.高階導數及其計算，高階導數的萊布尼茨公式．

　　2.高階微分及其計算.

　　考核要求：1.掌握高階導數的概念和計算，掌握高階導數的萊布尼茨公式．

　　2.了解高階微分及其計算，知道高階導數與高階微分的關系.

　　2.6拉格朗日定理和函數的單調性、極值

　　考核內容：1.極值概念與費馬定理.

　　2.羅爾定理，拉格朗日中值定理，應用中值定理證明不等式和中值公式舉例，達布定理，導數極限定理．

　　3.函數的單調性與極值，函數的最值，最值應用題舉例.

　　考核要求：1.掌握羅爾定理和拉格朗日中值定理的條件、結論及證明方法，會應用中值定理證明一些不等式和一些中值公式，了解達布定理和導數極限定理.

　　2.掌握求函數的單調區(qū)間和極值及最值的一般方法.

　　2.7柯西中值定理和不定式極限

　　考核內容：柯西中值定理及其簡單應用舉例，洛必達法則，不定式極限計算舉例．

　　考核要求：掌握柯西中值定理，掌握羅比達法則，會求各種形式的不定式極限.

　　2.8泰勒公式

　　考核內容：1.帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式和麥克勞林公式，幾個基本初等函數的麥克勞林公式．

　　2.泰勒公式應用舉例（不定式極限，高階導數，函數極值，近似計算）.

　　考核要求：理解帶兩種余項形式的泰勒公式，掌握基本初等函數的麥克勞林公式(熟記六個)，會利用它們求不定式極限，了解泰勒公式在求高階導數、函數極值以及近似計算方面的應用.

　　2.9其它應用

　　考核內容：函數的凸性與拐點，凸性的判定，漸近線，函數作圖，方程的近似解.

　　考核要求：1.掌握函數凸性與拐點的概念，會求函數凹凸區(qū)間與拐點，了解函數凸性在證明不等式方面的應用.

　　2.會求曲線的漸近線，了解函數作圖的一般步驟，會描繪函數的圖像.

　　3.了解求方程近似解的牛頓切線法．

　　第三章一元函數積分學（約20%）

　　3.1不定積分的概念與線性運算

　　考核內容：原函數與不定積分的概念，基本積分公式與線性運算法則，不定積分的幾何意義．

　　考核要求：理解原函數與不定積分的概念，熟練掌握基本積分公式及不定積分的線性運算法則，了解不定積分的幾何意義，了解連續(xù)分段函數的原函數的求法.

　　3.2換元積分法與分部積分法

　　考核內容：第一、二換元積分法，分部積分法．

　　考核要求：理解并熟練掌握第一、二換元積分法與分部積分法．

　　3.3有理函數和三角函數有理式的不定積分

　　考核內容：有理函數的不定積分，三角函數有理式的不定積分，兩類無理函數的不定積分．

　　考核要求：掌握有理函數不定積分的計算方法，會計算一些三角函數有理式的不定積分，會計算一些簡單無理函數的不定積分，了解歐拉變換法．

　　3.4定積分的概念與牛頓——萊布尼茨公式

　　考核內容：定積分的幾何背景和物理背景，定積分的定義(極限形式的定義和定義)，牛頓——萊布尼茨公式．

　　考核要求：1.深刻理解并掌握定積分的概念，知道定積分概念的定義，了解定積分的幾何意義和物理意義．

　　2.熟練掌握牛頓——萊布尼茨公式，會利用牛頓——萊布尼茨公式計算一些特殊的和式極限．

　　3.5可積函數類與定積分的性質

　　考核內容：1.可積的必要條件，上(下)和與上(下)積分，可積的充要條件(可積準則),可積函數類.

　　2.定積分的基本性質，積分第一中值定理．

　　考核要求：1.理解函數可積的必要條件，函數可積的充要條件(可積準則)，掌握三類可積函數，對這些定理的證明及其證明思路只要求讀懂，不作其它較高要求.

　　2.理解并掌握定積分的若干基本性質，能證明一些簡單的積分不等式.

　　3.6微積分學基本定理、定積分的計算(續(xù))

　　考核內容：變上(下)限的定積分，微積分學基本定理，換元積分法與分部積分法，積分第二中值定理，泰勒公式的積分型余項，定積分近似計算．

　　考核要求：1.掌握微積分學基本定理，會求變上(下)限的定積分的導數．

　　2.熟練掌握換元積分法與分部積分法.

　　3.理解積分第二中值定理，理解泰勒公式的積分型余項，了解定積分近似計算．

　　3.7(3.8)定積分的應用

　　考核內容：1.微元法概述.

　　2.平面圖形的面積，由平行截面面積求體積，平面曲線的弧長與曲率，旋轉曲面面積．

　　3.功，液體靜壓力，引力．

　　考核要求：1.領會微元法的要領，掌握平面圖形面積、由平行截面面積求體積、平面曲線弧長的計算公式，了解曲線的曲率，旋轉曲面的面積．

　　2.領會定積分在物理應用方面的基本方法．

　　3.9無窮積分與瑕積分

　　考核內容：1.無窮積分與瑕積分的定義和計算.

　　2.無窮積分的基本性質，比較判別法(包括極限形式及特殊形式)，絕對收斂與條件收斂，狄利克雷判別法與阿貝爾判別法．

　　3.瑕積分的收斂性判別法．

　　考核要求：1.掌握無窮積分與瑕積分的定義和計算.

　　2.理解無窮積分的基本性質，掌握非負函數無窮積分的收斂性判別的比較判別法，掌握絕對收斂和條件收斂的概念，理解狄利克雷判別法和阿貝爾判別法(不作其它較高要求)．

　　3.了解瑕積分與無窮積分的關系，了解瑕積分的收斂性判別法．

　　第四章級數論（約15%）

　　4.1數項級數的基本概念及性質

　　考核內容：數項級收斂與發(fā)散的定義和基本性質，等比級數，調和級數，柯西準則．

　　考核要求：1.理解數項級數收斂與發(fā)散的定義，掌握收斂級數的基本性質，能夠根據定義或性質判別一些簡單簡單級數的斂散性.

　　2.掌握等比級數與調和級數.

　　3.理解級數收斂的柯西準則，對應用柯西準則判別級數的斂散性不作較高要求.

　　4.2正項級數

　　考核內容：1.比較判別法，比式判別法，根式判別法．

　　2.積分判別法，拉貝判別法．

　　考核要求：1.掌握判別正項級數斂散性的基本方法：比較判別法，比式判別法和根式判別.

　　2.了解積分判別法和拉貝判別法．

　　4.3變號級數

　　考核內容：1.交錯級數及其萊布尼茨判別法，絕對收斂與條件收斂．

　　2.狄利克雷判別法與阿貝爾判別法.

　　3.絕對收斂級數的重排，絕對收斂級數的乘積.

　　考核要求：1.掌握交錯級數的萊布尼茨判別法，掌握絕對收斂與條件收斂概念.

　　2.理解狄利克雷判別法與阿貝爾判別法，對其應用一般不作較高要求．

　　3.理解絕對收斂級數的兩條重要性質，對其應用不作較高要求．

　　4.4函數項級數及其一致收斂性

　　考核內容：1.函數列與函數項級數一致收斂性的定義，一致收斂的柯西準則.

　　2.一致收斂的另一充要條件，魏爾斯特拉斯判別法．

　　3.函數項級數收斂性的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法．

　　考核要求：1.深刻理解并掌握函數列和函數項級數一致收斂性的定義，理解一致收斂的柯西準則.

　　2.掌握一致收斂的另一充要條件(即)，掌握判別函數項級數的魏爾斯特拉斯判別法即優(yōu)級數判別法．

　　3.理解判別函數項級數收斂性的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，對其應用不作較高要求．

　　4.5一致收斂函數序列與函數項級數的性質

　　考核內容：一致收斂函數列與函數項級數的連續(xù)性，逐項積分與逐項求導法則．

　　考核要求：理解并掌握一致收斂函數列和函數項級數的連續(xù)性，逐項積分與逐項求導法則．

　　4.6冪級數及其性質

　　考核內容：冪級數的收斂半徑，收斂半徑的計算公式，收斂區(qū)間和收斂域的概念．

　　考核要求：掌握冪級數的收斂半徑及收斂域的求法，掌握冪級數的基本性質和運算法則．

　　4.7函數的冪級數展開

　　考核內容：泰勒級數，麥克勞林級數，五種基本初等函數的冪級數展開式，初等函數的冪級數展開（直接法和間接法）．

　　考核要求：掌握泰勒級數和麥克勞林級數，熟記一些初等函數的冪級數展開式，掌握初等函數的冪級數展開.

　　4.8傅里葉級數

　　考核內容：1.三角級數；正交函數系，傅里葉級數，收斂定理，傅里葉級數的展開式舉例．

　　2.以為周期的函數的展開式，掌握偶函數和奇函數的傅里葉級數的展開式，函數的奇延拓與偶延拓及正弦級數與余弦級數．

　　3.黎曼引理，收斂定理的證明，貝塞爾不等式，一致收斂性定理．

　　考核要求：1.理解三角級數和傅里葉級數定義，掌握傅里葉級數的收斂定理，能夠按照收斂定理將比較簡單的函數展開成傅里葉級數．

　　2.掌握以為周期的函數的展開式，掌握偶函數和奇函數的傅里葉級數的展開，掌握正弦級數，余弦級數．

　　3.了解收斂定理的證明，了解傅里葉級數的一致收斂性．

　　第五章多元函數微分學（約15%）

　　5.1多元函數與極限(6)

　　考核內容：1.二元函數及多元函數,平面中的鄰域，開域，閉域.

　　2.二元函數重極限定義，二元函數極限存在的充要條件，方向極限與累次極限.

　　考核要求：1.理解二元及多元函數的定義．了解平面中鄰域，開域，閉域的定義.

　　2.理解二元函數重極限的定義，知道二元函數極限存在的充要條件，了解方向極限與累次極限，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系．

　　5.2二元函數的連續(xù)性

　　考核內容：1.二元函數的連續(xù)性的定義，二元初等函數的連續(xù)性.

　　2.中的聚點定理，致密性定理，閉區(qū)域套定理，有限覆蓋定理.

　　3.有界閉域上連續(xù)函數的最大最小值定理，介值性定理和一致連續(xù)性．

　　考核要求：1.理解二元函數的連續(xù)性的定義，知道二元初等函數的連續(xù)性.

　　2.了解有關二維空間上的完備性定理，知道有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的整體性質．

　　5.3偏導數與全微分

　　考核內容：1.多元函數偏導數與高階偏導數，偏導數的幾何意義，混合偏導數與求導順序無關的條件.

　　2.二元函數可微和全微分的定義，微分法則，可微的必要條件，可微的充分條件，高階全微分及其運算．

　　考核要求：1.理解并掌握多元函數偏導數的定義，知道偏導數的幾何意義，能夠熟練的求出初等函數的偏導數和高階偏導數，能夠求二元函數在一些特殊的導數，知道混合偏導數與求導順序無關的條件.

　　2.理解并掌握二元函數可微和全微分的定義，掌握微分法則，掌握可微的必要條件，理解可微的充分條件，了解高階全微分及其運算．

　　5.4復合函數微分法與方向導數

　　考核內容：復合函數鏈式法則，復合函數的全微分，一階全微分形式不變性，方向導數與梯度.

　　考核要求：理解并熟練掌握復合函數求導的鏈式法則，掌握方向導數與梯度的定義及其運算，了解二元函數的梯度的幾何意義．

　　5.5多元函數的泰勒公式

　　考核內容：泰勒公式與中值定理，泰勒公式的計算與應用舉例．

　　考核要求：理解并掌握多元函數的泰勒公式，了解泰勒公式的一個推論——中值定理．

　　5.6隱函數及其微分法

　　考核內容：1.隱函數存在性定理，隱函數可微性定理．

　　2.隱函數組及其可微性定理，反函數組定理．

　　考核要求：1.理解隱函數定理和可微性定理，掌握隱函數微分法．

　　2.了解隱函數組及其可微性定理，知道求隱函數組的偏導數.

　　5.7多元函數偏導數的幾何應用

　　考核內容：1.空間曲線的切線與法平面方程，曲面的切平面與法線方程．

　　2.二元函數全微分的幾何意義，、三元函數梯度的幾何意義.

　　考核要求：1.理解空間曲線(兩種表示形式)的切線方程的推導，掌握空間曲線的切線與法平面方程的求法，理解曲面(兩種表示形式)的切平面方程的推導，掌握曲面的切平面與法線的求法．

　　2.了解二元函數全微分的幾何意義，了解三元函數梯度的幾何意義.

　　5.8多元函數的極值與條件極值

　　考核內容：1.二元函數的極值，必要條件與充分條件．

　　2.條件極值，拉格朗日乘數法，用條件極值的方法證明不等式．

　　考核要求：1.掌握二元函數的極值的必要條件與充分條件．

　　2.了解拉格朗日乘數法，會用拉格朗日乘數法求條件極值．

　　第六章多元函數積分學（約15%）

　　6.1二重積分

　　考核內容：1.二重積分的定義和性質，化二重積分為累次積分的計算公式．

　　2.二重積分的變量變換公式，用極坐標計算二重積分．

　　考核要求：1.了解平面點集的面積定義及其性質，理解二重積分的定義和性質，理解有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數可積的結論，理解并熟練掌握化二重積分為累次積分的計算公式．

　　2.理解二重積分變量變換公式的證明，掌握用極坐標計算二重積分．

　　6.2三重積分

　　考核內容：1.三重積分的定義，化三重積分為累次積分的計算公式(柱體法和截面法).

　　2.三重積分變量變換公式，柱坐標變換公式，球坐標變換公式．

　　考核要求：1.掌握三重積分的定義，了解三重積分的性質，熟練掌握化三重積分為累次積分的計算公式(柱體法和截面法).

　　2.了解三重積分變量變換公式，掌握用球坐標和柱坐標計算三重積分．

　　6.3 n重積分和廣義重積分

　　考核內容：n重積分的定義，計算公式，廣義二重積分的性質，收斂性判別．

　　考核要求：了解n重積分和廣義二重積分的概念和性質，了解廣義二重積分的收斂性判別．

　　6.4重積分的應用

　　考核內容：平面區(qū)域的面積，立體的體積，曲面的面積，物體重心，轉動慣量，引力．

　　考核要求：掌握用重積分計算計算面積和體積，掌握曲面面積的計算公式，了解物體的重心，轉動慣量與引力及其計算公式．

　　6.5第一型曲線積分

　　考核內容：第一型曲線積分的定義，性質和計算公式．

　　考核要求：理解并掌握第一型曲線積分的定義，性質和計算公式．

　　6.6第二型曲線積分

　　考核內容：1.第二型曲線積分的定義，性質，坐標形式和計算公式.

　　2.兩類曲線積分之間的聯(lián)系.

　　考核要求：1.理解并掌握第二型曲線積分的定義，性質，坐標形式和計算公式.

　　2.了解兩類曲線積分之間的聯(lián)系.

　　6.7格林公式

　　考核內容：格林公式，曲線積分與路線無關的條件．

　　考核要求：理解并掌握格林公式以及曲線積分與路線無關的條件．

　　6.8第一型曲面積分

　　考核內容：第一型曲面積分的定義和計算公式．

　　考核要求：理解并掌握第一型曲面積分的定義和計算公式．

　　6.9第二型曲面積分

　　考核內容：有向曲面的概念，第二型曲面積分的定義、性質，兩類曲面積分的聯(lián)系，第二型曲面積分的計算公式．

　　考核要求：理解并掌握第二型曲面積分的定義、性質，了解兩類曲面積分的聯(lián)系，掌握第二型曲面積分的計算公式．

　　6.10高斯公式與斯托克斯公式

　　考核內容：高斯公式，斯托克斯公式，沿空間曲線的第二型積分與路徑無關的條件．

　　考核要求：理解并掌握高斯公式和斯托克斯公式．

　　6.11含參變量的積分

　　考核內容：1.含參變量的定積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明，定理的應用.

　　2.含參變量的廣義積分的一致收斂性概念和性質，一致收斂性判別法．

　　3.連續(xù)性，可微性與可積性定理，定理的應用.

　　4.函數與函數的定義、性質及其聯(lián)系，余元公式．

　　考核要求：1.理解并掌握含參變量的定積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理，掌握計算含參變量的定積分基本方法.

　　2.了解含參變量的廣義積分的一致收斂性概念和性質，了解一致收斂性判別法（魏爾斯特拉斯判別法，狄里克雷判別法和阿貝爾判別法．

　　3.了解含參變量的廣義積分的連續(xù)性，可微性與可積性定理，了解含參變量的定積分基本方法.

　　4.了解函數與函數的定義、性質及其聯(lián)系．

　　上述為2021年萍鄉(xiāng)學院專升本數學與應用數學專業(yè)考試大綱的全部內容，日常的備考中，考生要去認真落實，在最后的沖刺備考階段也可以依據考試大綱進行自我檢測，找出自己沒有完全掌握的知識點，及時鞏固，提升復習效果。