2020年蘭州交通大學(xué)專升本《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

蘭州交通大學(xué)普通專升本招生高等數(shù)學(xué)考試大綱

一、考試目的

蘭州交通大學(xué)普通專升本招生高等數(shù)學(xué)考試目的是為了較全面考核普通高等學(xué)校?？疲ê呗殻?yīng)屆畢業(yè)生所學(xué)《高等數(shù)學(xué)》課程是否達(dá)到教學(xué)大綱所規(guī)定的要求，考察其對(duì)《高等數(shù)學(xué)》課程基本概念、基本理論和基本方法的掌握情況。

二、考試要求

考生應(yīng)了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、常微分方程的基本概念與基本理論；學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；有運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確地計(jì)算的能力；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

三、考試內(nèi)容

(一)、函數(shù)、極限和連續(xù)

1.函數(shù)

(1)．理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值，會(huì)作出一些簡(jiǎn)單的分段函數(shù)圖像。

(2)．掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。

(3)．理解函數(shù)y =?(x)與其反函數(shù)y =?-1(x)之間的關(guān)系(定義域、值域、圖像)，會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。

(4)．掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算; 掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。

(5)．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖像。

(6)．理解初等函數(shù)的概念。

(7)．會(huì)建立一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。

2.極限

(1)．理解極限的概念(只要求極限的描述性定義)，能根據(jù)極限概念描述函數(shù)的變化趨勢(shì)。理解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件，會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限。

(2)．理解極限的唯一性、有界性和保號(hào)性，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

(3)．理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)比較無(wú)窮小量的階(高階、低階、同階和等價(jià))。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限。

(4)．理解極限存在的兩個(gè)收斂準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則與單調(diào)有界準(zhǔn)則)，掌握兩個(gè)重要極限:       

并能用這兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限。

3.連續(xù)

(1)．理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的概念，函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與函數(shù)在該點(diǎn)處極限存在的關(guān)系。會(huì)判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性。

(2)．理解函數(shù)在一點(diǎn)處間斷的概念，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型。

(3)．理解“一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的”，并會(huì)利用初等函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限。

(4)．掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最值定理(有界性定理)，介值定理(零點(diǎn)存在定理)。會(huì)運(yùn)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題。

(二)、一元函數(shù)微分學(xué)

1.導(dǎo)數(shù)與微分

(1)．理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)的定義，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

(2)．會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。

(3)．熟記導(dǎo)數(shù)的基本公式，會(huì)運(yùn)用函數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和反函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(4)．會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。掌握對(duì)數(shù)求導(dǎo)法與參數(shù)方程求導(dǎo)法。

(5)．理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

(6)．理解函數(shù)微分的概念，掌握微分運(yùn)算法則與一階微分形式不變性，理解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。

2.中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(1)．理解羅爾(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理及它們的幾何意義，理解柯西(Cauchy)中值定理、泰勒(Taylor)中值定理。會(huì)用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會(huì)用拉格朗日中值定理證明一些簡(jiǎn)單的不等式。

(2)．掌握洛必達(dá)(L’Hospital)法則，會(huì)用洛必達(dá)法則求“ ”，“ ”,“ ”，“ ”，“ ”，“ ”和“ ”型未定式的極限。

(3)．會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明一些簡(jiǎn)單的不等式。

(4)．理解函數(shù)極值的概念，會(huì)求函數(shù)的極值和最值，會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

(5)．會(huì)判定曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。

(6)．會(huì)求曲線的漸近線(水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線)。

(7)．會(huì)描繪一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的圖形。

(三)、一元函數(shù)積分學(xué)

1.不定積分

(1)．理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，理解原函數(shù)存在定理，掌握不定積分的性質(zhì)。

(2)．熟記基本不定積分公式。

(3)．掌握不定積分的第一類換元法(“湊”微分法)，第二類換元法(限于三角換元與一些簡(jiǎn)單的根式換元)。

(4)．掌握不定積分的分部積分法。

(5)．會(huì)求一些簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的不定積分。

2.定積分

(1)．理解定積分的概念與幾何意義, 掌握定積分的基本性質(zhì)。

(2)．理解變限積分函數(shù)的概念，掌握變限積分函數(shù)求導(dǎo)的方法。

(3)．掌握牛頓—萊布尼茨(Newton—Leibniz)公式。

(4)．掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

(5)．理解無(wú)窮區(qū)間上有界函數(shù)的廣義積分與有限區(qū)間上無(wú)界函數(shù)的瑕積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

(6)．會(huì)用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。

(四）、常微分方程

1.一階常微分方程

(1)．理解常微分方程的概念，理解常微分方程的階、解、通解、初始條件和特解的概念。

(2)．掌握可分離變量微分方程與齊次方程的解法。

(3)．會(huì)求解一階線性微分方程。

2.二階常系數(shù)線性微分方程

(1)．理解二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。

(2)．會(huì)求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程。

(3)．會(huì)求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(非齊次項(xiàng)限定為(Ⅰ)  ，其中 為x的m次多項(xiàng)式, 為實(shí)常數(shù)；(Ⅱ) ，其中 ， 為實(shí)常數(shù)， ， 分別為x的次，n次多項(xiàng)式)。

(五)、向量代數(shù)與空間解析幾何

1.向量代數(shù)

(1)．理解向量的概念，掌握向量的表示法，會(huì)求向量的模、非零向量的方向余弦和非零向量在軸上的投影。

(2)．掌握向量的線性運(yùn)算(加法運(yùn)算與數(shù)量乘法運(yùn)算)，會(huì)求向量的數(shù)量積與向量積。

(3)．會(huì)求兩個(gè)非零向量的夾角，掌握兩個(gè)非零向量平行、垂直的充分必要條件。

2.平面與直線

(1)．會(huì)求平面的點(diǎn)法式方程與一般式方程。會(huì)判定兩個(gè)平面的位置關(guān)系。

(2)．會(huì)求點(diǎn)到平面的距離。

(3)．會(huì)求直線的點(diǎn)向式方程、一般式方程和參數(shù)式方程。會(huì)判定兩條直線的位置關(guān)系。

(4)．會(huì)求點(diǎn)到直線的距離，兩條異面直線之間的距離。

(5)．會(huì)判定直線與平面的位置關(guān)系。

(六)、多元函數(shù)微分學(xué)

1.多元函數(shù)的極限與連續(xù)

 (1).了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義。會(huì)求二元函數(shù)的定義域。

 (2).了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念（對(duì)計(jì)算不作要求）以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

2.多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分

 (1).理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，知道全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.

 (2).掌握二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法。

 (3).掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法.

 (4).會(huì)求二元函數(shù)的全微分。

 (5).掌握由方程F（x，y，z）=0所確定的隱函數(shù)z=z（x，y）的一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

 3、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用

 (1).掌握空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程.

 (2).理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.

四、試題難易程度

較容易題          約30%

中等難度題        約50%

較難題            約20%

五、說(shuō)明

1、試卷滿分為100分?？荚嚂r(shí)間為60分鐘。

2、試卷題型結(jié)構(gòu)為：?jiǎn)芜x題、填空題、解答題

3、試卷內(nèi)容比例：

函數(shù)、極限和連續(xù)                     約15%

一元函數(shù)微分學(xué)                      約30%

一元函數(shù)積分學(xué)                      約30%

常微分方程、多元微分學(xué)　                 約20%

向量代數(shù)與空間解析幾何　　              約5%

六、參考書目

《高等數(shù)學(xué)》（第六版）同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系     高等教育出版社  

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