樂山師范學院數學與應用數學專業(yè) 專升本專業(yè)綜合考試大綱

• 考試范圍,參考書

考試范圍: 數學分析, 高等代數,各占50%.

參考書: 華東師大編《數學分析》，高等教育出版社.   

徐德余主編的《高等代數》四川大學出版社．

• 題型, 分值比例, 考試時間

選擇題20%,填空題20%,解答題40%,證明題20%.

考試時間120分鐘.

• 數學分析考試內容及要求

實數集與函數

1. 內容

實數，數集，確界原理，函數概念，具有某些特征的函數。

2、要求

了解實數的小數表示形式，理解實數的有序性、稠密性與封閉性，實數集確界原理，函數的定義及復合函數、有界函數、反函數、單調函數和初等函數的定義，掌握鄰域的概念，實數絕對值的有關性質，基本初等函數的定義、性質及其圖象。

數列極限

1. 內容

數列極限的概念，收劍數列的性質，數列極限存在的條件。

1. 要求

理解數列發(fā)散、單調、有界和無窮小數列等有關概念和收斂數列性質，掌握數列極限的 N-e定義及收斂數列的四則運算定理、迫斂性定理、單調有界定理和柯西準則。

函數的極限

1. 內容

函數極限的概念，函數極限的性質，函數極限存在的條件，兩個重要極限，無窮小量與 無窮大量，階的比較。

1. 要求

了解函數極限的幾何意義，理解函數極限的定義，掌握函數極限的基本性質、海涅定理與柯西準則、兩個重要極限、無窮?。ù螅┝考捌潆A的比較。

函數的連續(xù)性

1. 內容

函數連續(xù)的概念，連續(xù)函數的性質，初等函數的連續(xù)性。

1. 要求

了解函數的間斷點及其種類、初等函數的連續(xù)性，理解函數在一點連續(xù)和在某區(qū)間上一致連續(xù)的概念，掌握連續(xù)函數的局部性質、運算性質、復合函數和反函數的連續(xù)性、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質。

導數與微分

1. 內容

導數概念，求導法則，微分，高階導數與高階微分。

1. 要求

了解導數的物理意義和導數、微分的幾何意義，理解導數、微分的定義和一階微分形式 的不變性，掌握導數的四則運算法則、復合函數的求導法則、高階導數與高階微分的計算方法。

微分中值定理及其應用

1. 內容

中值定理，幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則，泰勒公式，函數的單調性與極值， 函數的凸性與拐點，函數作圖，方程的近似解。

1. 要求

了解導函數的極限定理與導函數的介值性定理、函數凸性的概念，理解中值定理及其分 析意義與幾何意義、泰勒定理、函數在某一區(qū)間上單調以及嚴格單調的意義和條件，掌握中值定理的證明方法、羅比塔法則及其應用、泰勒公式、函數單調性與單調區(qū)間的判別法、極值的判別法。

實數完備性

1. 內容

實數完備性六個等價定理，閉區(qū)間上連續(xù)函數整體性質的證明，上、下極限。

1. 要求

了解數列上極限、下極限的概念及其與數列極限的關系，理解六個基本定理的實質意義和相互等價性，掌握區(qū)間套、聚點、開覆蓋等概念、六個基本定理的條件與結論及證明的基本思想方法和應用。

不定積分

1. 內容

不定積分概念與基本積分公式，換元積分法與分部積分法，幾類可化為有理函數的積分。 2、要求

了解積分與微分的互逆關系，理解原函數與不定積分的關系及其幾何意義，掌握不定積 分的線性運算法則、基本積分公式、換元積分法、分部積分法、有理函數的積分、三角函數有理式的積分、簡單無理函數的積分。

定積分

1. 內容

定積分的概念，定積分條件，微積分學基本定理。

1. 要求

了解可積的必要條件及上和、下和的性質，理解并掌握定積分的思想、定積分的性質、 微積分學基本定理，掌握換元積分法和分部積分法并能解決計算問題。

定積分應用

1. 內容

平面圖形面積計算，已知截面面積求體積，曲線弧長與曲率，重心坐標、平均值、變力作功。  

1. 要求

掌握各種平面圖形面積的計算方法、曲線弧長的各種表達形式及其計算方法、定積分在物理學上的應用，理解并掌握由截面面積函數求空間立體體積的計算公式的應用、利用微元法計算旋轉曲面的面積。

反常積分

1. 內容

反常積分概念，無窮積分的性質與收斂判別，瑕積分的性質與收斂判別。

1. 要求

了解無窮積分、瑕積分的性質與收斂性判別法，理解非正常積分的概念，掌握無窮積分與瑕積分的計算方法。

數項級數

1. 內容

級數的斂散性，正項級數，一般項級數。

1. 要求

理解并掌握級數、部分和、收斂、發(fā)散的概念，理解級數的收斂準則及其性質，熟練掌握正項級數斂散性判別法的比較原則、比式、根式判別法，理解交錯級數的概念，進而掌握其斂散性判別法，弄清絕對收斂的含義并掌握其有關的性質及一般項級數的斂散性判別法。 

  函數列與函數項級數 

1、內容 

一致收斂性，一致收斂的函數列與函數項級數的性質。

2、要求 

理解并掌握函數列（或函數項級數）及一致收斂的概念和性質，掌握函數項級數的幾個 重要判別法，并能利用它們去進行判別，掌握一致收斂函數列與函數項級數的極限與和函數的連續(xù)性、可積性、可微性，并能解決實際問題。 

  冪級數 

1、內容 

冪級數，函數的冪級數展開。

2、要求 

掌握冪級數的概念、性質、收斂域、一致收斂性，理解并會求冪級數的收斂區(qū)間及半徑， 理解和函數的性質，掌握冪級數的有關運算，理解并掌握函數的冪級數展開并會計算函數值。 

  傅里葉級數 

1、內容 

傅里葉級數，以l2為周期的傅里葉級數，收斂定理的證明。

 2、要求 

正確理解三角級數，正交函數系等概念，掌握傅里葉級數的定義及收斂定理，理解以p2為周期的函數的傅里葉級數與其周期延拓函數的傅里葉級數的關系，理解并掌握一個其圖形由有限段光滑弧線構成的函數，都可以用傅里葉級數表示，掌握并區(qū)別奇、偶函數的傅里葉展開式，理解并會應用傅里葉級數的收斂性定理。 

  多元函數極限與連續(xù) 

1、內容 

平面點集與多元函數的概念，二元函數的極限，二元函數的連續(xù)性， 

2、教學目的及要求 

掌握平面點集的有關概念，并能求出函數的定義域，繪出其圖形，理解并掌握二元函數 的極限，能利用累次極限解決問題，搞清重極限與累次極限的關系，理解二元函數的連續(xù)性，掌握有界域上連續(xù)函數的性質。 

  多元函數的微分學 

1.  內容

可微性，復合函數的微分法，方向導數與梯度，泰勒定理與極值。 

2、要求 

理解偏導數、全微分、方向導數、梯度等概念。熟練掌握偏導數的計算，特別是求復合函數偏導數的運算，會求空間曲線的切線方程，法平面方程；空間曲面的切平面方程，法線方程；掌握泰勒公式的意義和用途，并能寫出簡單二元函數的泰勒公式或馬克勞林公式；掌握求二元函數的局部極值和最大（?。┲档姆椒?，并能解決一些簡單的應用問題。 

  隱函數定理及其應用 

1、內容 

隱函數，隱函數組，幾何應用，條件極值。

 2、要求 

理解隱函數概念，掌握隱函數（組）定理及反函數組定理，要求能運用定理驗證方程（或方程組）確定隱函數（或隱函數組），能熟練而準確地求隱函數（或隱函數組）與反函數組的偏導數，了解隱函數存在的幾何意義以及坐標變換的一些結果，會求平面曲線的切線方程和法線方程，空間曲線的切線方程與法平面方程，空間曲面的切平面方程與法線方程，熟練掌握求條件極值的拉格朗日乘數法，并能把實際中的某些極值問題抽象為數學中的條件極值問題。 

  含參量積分 

1、內容 

參量正常積分，含參量反常積分，歐拉積分。

 2、要求 

理解含參量正常積分的概念，掌握含參量正常積分的連續(xù)性、可積性與可微性，積分順 序的交換并熟練掌握它們的應用，理解含參量反常積分一致收斂的概念，掌握其判別的方法，掌握含參量反常積分的分析性質，并能應用其計算積分，了解歐拉積分。 

  曲線積分  

1、內容 

第一型曲線積分，第二型曲線積分。

2、要求 

理解并掌握第一型曲線積分的概念、性質、計算，理解并掌握第二型曲線積分及其性質、 計算方法，了解兩類曲線積分之間的聯系。 

    重積分 

1. 內容

二重積分概念，二重積分的計算，格林公式和曲線積分與路線的無關性，二重積分的變量變換，三重積分，重積分的應用。 

2、要求 

掌握重積分的概念、可積條件、性質，會用累次積分的方法計算二重積分，能夠根據積分區(qū)域和被積函數的特征進行適當的變量替換，熟練掌握極坐標替換，一般坐標替換。理解并掌握格林公式及曲線積分與路線的無關性，并能解決有關計算問題。會用累次積分的方法計算三重積分。會用柱面坐標、球面坐標與廣義柱、球面坐標變換計算三重積分；會用二重積分計算光滑曲面的面積，用二、三重積分計算物體重心坐標和物體的轉動慣量以及平面圖形的面積、立體的體積。 

  曲面積分 

1、內容 

第一型曲面積分，第二型曲面積分。 2、要求 

理解并掌握第一型曲面積分的概念、性質、計算，理解并掌握曲面?zhèn)鹊母拍?，掌握第二型曲面積分的概念、性質及計算方法，了解兩類曲面積分之間的聯系，理解并掌握高斯公式和斯托克斯公式，并能運用它們解決某些計算問題。 

四、高等代數考試內容及要求 

行列式    

1、內容 

排列，n階行列式定義，n階行列式的性質，n階行列式的各種計算方法（含展開），克蘭姆法則，拉普拉斯定理，行列式的乘法規(guī)則。 

2、要求 

正確理解n級行列式的定義，熟練掌握它的性質和各種計算方法，熟悉幾種特殊的行列式和拉普拉斯定理，會用克蘭姆法則解方程組。 

矩陣   

1、內容 

矩陣的定義與運算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣分塊，初等矩陣，n維向量及其線性相關性，向量組的秩，分塊矩陣的廣義初等變換及其應用。 

2、要求 

理解并掌握矩陣以及n階矩陣的行列式的概念，掌握矩陣的運算規(guī)則，掌握用初等變換求標準型和逆矩陣的幾種求法，掌握矩陣的秩和向量組的秩的關系，會用分塊法來解決矩陣的運算及秩的關系問題。 

線性方程組   

1、內容 

消元法，線性方程組有解的判別定理，齊次線性方程組，一般線性方程組。 2、要求 

掌握方程組系數矩陣，增廣矩陣以及它們的秩的關系，能熟練應用有解判別定理和矩陣的初等變換解方程組，能求方程組的特解、一般解，導出組的基礎解系和方程組的全部解。 

多項式    

1、內容 

整數的一些整除性質，一元多項式的定義及運算，多項式的整除性，最大公因式，互素，不可約多項式，因式分解，重因式，多項式函數，根與一次因式的關系，復系數、實系數多項式的因式分解，有理系數多項式的可約性及其有理根，有根與可約的關系。 

2、要求 

正確理解多項式及其相關概念，它與多項式函數的異同點。掌握因式分解定理及其在一些常用數域上的具體體現，正確理解可約與有根的關系。掌握帶余除法、因式分解定理、復系數與實系數的因式分解及有理系數多項式的有關結論． 

  線性空間    

1、內容 

映射與代數運算，線性空間的定義與性質，維數、基與坐標，基變換與坐標變換，線性 子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構。 

2、要求 

正確理解線性空間、維數、基、坐標等相關定義，正確理解線性空間中兩種運算，零元、負元的正確含義，會用不同的方法計算向量坐標、過渡矩陣，會利用基的擴充定理證明線性空間的相關命題，掌握子空間交、和定義及維數公式，掌握直和的幾個等價命題。 

 線性變換   

1、內容 

線性變換的定義與運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對角矩陣，線性變換的 值域與核，不變子空間。 

2、要求 

正確理解線性變換和它的值域與核的定義和運算法則，正確區(qū)別它與同構的異同，能用線性變換在基下矩陣的定義正確理解它與 n階矩陣的一一對應關系，進而理解同構。掌握兩矩陣相似的定義、判別方法和性質，會計算特征根、特征向量，進而掌握能對角化的判別方法。 

   歐幾里得空間   

1、內容 

歐幾里得空間的定義及其基本性質，標準正交基，同構，正交變換，子空間的正交補， 對稱矩陣的標準形，向量到子空間的距離，最小二乘法。 

2、 要求 

理解內積的概念，由此引入歐氏空間、向量長度、夾角的定義。掌握歐氏空間中標準正 交基的定義，特別是標準正交基的性質、作用，掌握正交變換，對稱變換的定義、特征，化對稱矩陣為對角矩陣的方法。 

  二次型   

1、內容 

二次型及其矩陣表示，標準形，唯一性，正定二次型。 

2、要求 

正確理解二次型多種不同的定義形式及與對稱矩陣的關系。會用非退化的線性替換化二次型為標準形、規(guī)范形，熟練掌握正交二次型的幾個重要性質。